Hallo Thomas,
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard Schicktanzstärker sehen würde als "nur" eine Multiplikation. Für die Anwendung
^^^^^^^^^^^^^^^^^
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard Schicktanzsind die beiden _untrennbar_ verbunden, obwohl sie in gewisser Weise
separat verrechnet werden können.
Einheit und Maßzahl sind eben _nicht_ untrennbar miteinander
S.o.
Post by Thomas Koenigverbunden. Wenn ich 10 cm gemessen haben, dann ist das völlig
äquivalent zu 0.1 m (modulo Meßschranken etc.). Eine
Natürlich, ist ja auch derselbe Wert: 0,1 = 10c (= 10*0,01).
Die _Einheit_ ist hier doch in beiden Fällen der "m", die modifizierenden
Vorsätze sind Teil der (Darstellung der) Maßzahl und zur Speicherung in
diese einzubeziehen ("constant folding").
Post by Thomas KoenigGröße lässt sich nur mit Hilfe von Maßzahl und Einheit angeben,
aber die Maßzahl ist halt eben von der Einheit verbunden, und
ich kann die gleiche Größe mit Hilfe einer anderen Einheit
der gleichen Dimension angeben.
Sicher, aber das geht eben nur mittels _Um_rechnung, die "i.a." einen
anderen Wert für die Maßzahl liefert.
Post by Thomas KoenigUnd was die Verknüpfung angeht: "Multiplikation" ist das, was
man normalerweise dazu sagt, und es teilt einige Eigenschaften
mit der Multiplikation reeller Zahlen. Allerdings habe ich noch
keine Veröffentlichungen zu einem Axiomensystem für physikalische
Einheiten gesehen. Irgendwie mögen Mathematiker keine Einheiten,
oder sie halten sie für irrelevant oder trivial, sonst hätten
sie sich schon lange drangemacht.
Für Mathematiker ist das kein Thema, weil die schon lange ihr Verständnis
einer multiplikativen Verknüpfung weit über den Alltagsbegriff hinaus
erweitert haben. Die multiplizieren nicht nur Einheiten an Maßzahlen,
sondern auch Funktionen untereinander oder mit Matrizen, Distributionen mit
Mengen, Mengen untereinander u.v.m. Ist doch nix besonderes.
Post by Thomas KoenigDas Bridgman-Axiom (Physilalische Zusammenhänge sind unabhängig vom
^k
Post by Thomas Koenigverwendeten Einheitensystem) kommt dem noch am nächsten.
Ach, das hat sogar einen Namen? Ich habe das immer als Selbverständlichkeit
gesehen und gesagt bekommen.
...
Post by Thomas KoenigKlar, man kann Dimensionen als einen Vektorraum auffassen. Das hilft
auch ungemein bei der Dimensionsanalyse.
Als _etwas ähnliches wie_ einen Vektorraum. Ich würde mich hüten, darauf
die bekannten Operationen für solche ohne vorherige genaue Überprüfung
anzuwenden, schon angefangen mit der Basisrotation. Sie lassen aber
unterschiedliche Zusammensetzungen zu, die wieder als unabhängig
voneinander festgestellt werden können, was schon einer Basisrotation
nahe kommt.
...
Post by Thomas KoenigDynamische Einheiten? Nicht für hohe Anforderungen an Rechehenleistung,
bitte :-) Eine Variable einer Einheit zuzuordnen, macht schon Sinn.
Die Verarbeitung _intern_ muß ja die Einheiten nicht dynamisch verwalten,
es reicht dafür, wenn alle Eingangswerte _einmalig_ in ein einheitliches
System umgerechnet werden, mit dem dann weitergerechnet wird. Spezifische
Einheiten kommen erst wieder bei der Ausgabe ins Spiel, wo man natürlich
solche Angaben sehen will, die man gewohnt ist. (Ein weiterer Gesichtspunkt
ist natürlich auch, daß die Genaugkeit nicht mehr als unvermeidbar leiden
sollte.)
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard SchicktanzAber _das_ würd ich nicht machen. Hier soll die Variable ruhig den
Meßwert (25,12) haben, wenn sie die Einheit "Zoll" besitzt.
(25,12) heisst was?
Was als Beispiel drüber stand. Nein, das ist keine Spezialnotation, sondern
nur ein in Klammern geschriebener Wert.
...
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard SchicktanzDas würde ich _so_ nicht machen.i In der Berechnung haben explizite
Einheiten bei den _Variablen_ nichts mehr verloren.
Wenn man explizit konvertieren möchte, brauch man dafür halt irgendeine
Syntax. Im Zweifelsfall tut es natürlich auch
Für eine reine _Berechnung_ muß hier nicht explizit konvertiert werden.
Eine expliziter Konvertierung muß doch nur bei der Aufbereitung zur
Ausgabe, d.h. dem Aufbau einer lesbaren _Darstellung_, des Variablenwertes
erfolgen.
Post by Thomas KoenigNur ist bei der impliziten Konvertierung erstmal unklar, wie die
ablaufen soll - rechts nach links, links nach rechts, oder alles
auf den Typ der linken Seite?
Implementationssache.
Post by Thomas KoenigMan definiert eine Einheit als ein Vielfaches von einer anderen,
möglicherwiese auch mit Offset (für die Leute, die unbedingt °C
nehmen wollen...)
Ersteres ist eine Trivialität. Letzteres, ja, das ist ein recht spezieller
Fall - und sowas ist genaugenommen keine "Einheit" im physikalischen Sinn,
sondern eine Gradation(sskala). Da haben dann lediglich _Differenzen_
reguläre Einheiten, die Gradwerte sind nur unter bestimmten Bedingungen
verrechenbar.
Was ist z.B. das doppelte von 25°C? Soll das 50°C sein oder 323,15°C?
..
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard SchicktanzPost by Thomas Koenignicht festgelegt werden. SI-Einheiten gehen für viele Probleme,
aber halt nicht für alle.
Für welche gehen sie nicht?
Häufig einfach unpraktisch. Aus numerischen Gründen sollten
viele Größen nicht allzu weit von 1 entfernt sein, und
wenn ein vernünftiges Einheitensystem für mein Problem aus
Elementarladung, Elektronenmasse, Vakuumlichtgeschwindigkeit,
Plancksches Wirkungsquantum, Boltzmann-Konstante besteht (wenn
das wirklich konsistent ist - habe ich nicht überprüft), dann
sollte ich das auch machen können.
Das heißt aber nicht, daß es nicht ginge, sondern daß es eben aus
praktischen, hier wohl im wesentlichen numerischen, Gründen ungünstig
sein kann. Da böte sich ein Skalierungsmechanismus an, der natürlich wieder
eine weitere Komplikation bedeutet. Oder an Anwendungsbereiche angepasste
Implementationen.
Post by Thomas KoenigPhysiker gehen ja gerne lax mit Einheiten um - "Die
Lichtgeschwindigkeit ist eins" - das sollte man auch als Einheiten
formulieren können :-)
Das sind die sog. "natürlichen" Einheiten - das bedeutet hier keineswegs,
daß die Lichtgeschwindigkeit dann eine dimensionslose Zahl wäre, sondern
lediglich, daß _alle_ Geschwindigkeiten in Vielfachen (oder Teilen) davon
ausgedrückt werden. Auch dann, wenn das darauffolgend nicht mehr explizit
erwähnt wird. Und wenn das der Autor dann irgendwann durcheinanderbringt,
hat er einen schwerwiegenden Fehler und seine Arbeit nutzlos gemacht.
...
[Reynolds-Zahl berechnen]
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard SchicktanzPost by Thomas KoenigImplizite oder explizite Umwandlung? In welchen Einheiten sollte
bei einer expliziten Umrechnung gerechnet werden?
Egal, die müssen intern nur konsistent benutzt werden.
Das muss richtg rauskommen, aber man muss schon festlegen, wie man
das haben will :-)
Das ist wieder eine Implementationssache . _wenn_ es richtig gemacht wurde,
dann _kommt_ das richtige heraus.
...
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard SchicktanzPost by Thomas KoenigAch ja, und dann gibt es noch die Leute, die gerne die Formel
a = ln(T/T0)
schreiben als
a = ln(T) - ln(T0)
Eeeeigentlich richtig, aber nicht mehr so ganz, wenn T eine Temperatur ist...
Nee, das ist ganz prinzipiell falsch,
Erzähl einem Mathematiker, dass ln(T/T0) = ln(T) - ln(T0) nicht mehr
gilt, der wird dich verständnislos anschauen :-)
Da hast Du mich falsch verstanden - _falsch_ ist hier nicht die Separation
der Terme, sondern Deine Darstellung der Bedeutung.
Post by Thomas KoenigUnd ja, ich habe auch schon (in Vorlesungen) Dozenten darauf
hingewiesen, dass das so nicht geht.
Nicht ohne Berücksichtigung der Einheiten - und in Vorlesungen sollte
unbedingt darauf hingewiesen werden, daß hier diese Terme auftreten, auch
wenn sie sich am Ende wegheben.
Post by Thomas KoenigPost by Sieghard Schicktanzweil da die von Dir so forsch
hingeschriebene Variable T0 _auch_ eine Temperatur sein _muß_. Und dann
steht da für den zweiten Ausdruck genaugenommen
a = ln(T)+ ln (<Tempertur>) - ln(T0)- ln (<Temperatur>),
Ich glaube, da bricht die Mathe ein bisschen zusammen - Funktionen wie
der Logarithmus von einheitenbehafteten Größen sind nicht sinnvoll
definierbar, vor allem wegen der Umwandelbarkeit der Temperaturen.
Nene, da bricht mathematisch garnichts zusammen. Das sind "einfach"
Operationen auf einem erweiterten Definitionsbereich, der auch Nicht-
Zahlen umfasst, die zwar nicht mit regulären Zahlen oder untereinander
verrechnet werden können, die aber die "Primitivrelationen" der
Rechenoperationen (x - x = 0, x / x = 1, u.ä.) erfüllen.
Post by Thomas KoenigIst trotzdem ein Problem, wie man mit dem unbestimmten Integral
int 1/T dT umgeht. Laut Mathebuch steht dann als Lösung ln(T)
+ C. Geht natürlich nicht, also ziehen wir mal kurz das C in
den Logarithmus rein und machen ein ln(T/C1) draus.
Ja, und was sagt das dann aus? Das ist dann immer noch ein _unbestimmter_
Wert der Konstanten - um da was (physikalisch, numerisch) sinnvolles draus
zu machen, muß ein Kriterium her, das die Konstante zu bestimmen gestattet.
Am einfachsten setzt man die dann gerne zu 0...
Post by Thomas KoenigOder wir verneinen mal eben die Existenz von unbestimmten Integralen
Wie berechnest Du _numerisch_ ein solches eigentlich? Würde mich
interessieren...
Geht das nicht ein kleines Stückchen über das hier angestrebte Ziel hinaus?
--
--
(Weitergabe von Adressdaten, Telefonnummern u.ä. ohne Zustimmung
nicht gestattet, ebenso Zusendung von Werbung oder ähnlichem)
-----------------------------------------------------------
Mit freundlichen Grüßen, S. Schicktanz
-----------------------------------------------------------